В этом уроке рассмотрим одну из самых распространенных задач начертательной геометрии – построение пересечения поверхностей методом секущих плоскостей и способ ее решения средствами AutoСАD.
Метод секущих плоскостей, немного теории
Вкратце суть метода секущих плоскостей состоит в том, что для построения линии пересечения двух поверхностей строятся вспомогательные плоскости (обычно – параллельные одной из плоскостей проекций), которые пересекают заданные поверхности, образуя при этом простые геометрические фигуры.
Точки взаимного пересечения заданных поверхностей будут общими точками двух кривых, образованных пересечением секущей плоскости с каждой из поверхностей.
Условия задачи
Зададим условия: пусть необходимо построить пересечение полусферы и конуса, расположенных таким образом:
Размеры показаны для наглядности, проставлять их на чертеже не нужно.
Решение
Строим секущие плоскости, вид с боку
Очевидно, что для тел вращения удобно использовать плоскости, перпендикулярные осям этих тел. В нашем случае вспомогательные плоскости будут параллельными горизонтальной плоскости. Изобразим их на фронтальном виде (в нашем случае верхняя из плоскостей проходит через явно видимую верхнюю точку пересечения конуса и полусферы, в других случаях для нахождения этой точки потребуются дополнительные построения):
Секущие плоскости, вид сверху
Теперь перенесем линии пересечения секущих плоскостей с каждой из поверхностей на вид сверху. Очевидно, что горизонтальные плоскости пересекают каждое из тел по окружностям, центры которых находятся на одной вертикали с центрами тел. Радиусы этих окружностей легко переносятся на вид сверху с образующих каждой поверхности. Вот эти окружности для полусферы:
И для конуса:
Точки пересечения секущих плоскостей
Отметим для наглядности общие точки для каждой из пар окружностей, образованных одной плоскостью:
Видно, что в районе верхней точки построение недостаточно «информативно», т.е. будет полезным построить еще одну секущую плоскость:
Вот еще две точки, заданные этой плоскостью:
Линия пересечения
Соединив на виде сверху полученные точки сплайном (команда Сплайн), мы получим приближенную линию пересечения двух поверхностей:
Остается перенести линию на фронтальный вид. Сделать это совсем несложно: нужно перенести каждую из точек с вида сверху на соответствующую секущую плоскость на фронтальном виде. Линии построения выделены желтым цветом:
Поскольку исходные поверхности (и, соответственно, линия их пересечения) симметричны относительно плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекции, достаточно перенести только половину точек. В нашем частном случае невидимая на фронтальном виде часть кривой «спрятана» за видимой, а верхняя точка является точкой разделения видимой и невидимой частей.
Проверка вида линии пересечения
Полезно проверить правильность наших построений средствами 3D-моделирования. Построим соответствующие фигуры, перейдя предварительно к интерфейсу 3D- моделирование , и сравним полученную модель с построением (для этого удобнее объединить объекты командой Объединить).
Резюме
Как видим, наше построение довольно точно передает реальную линию пересечения поверхностей вращения. И хотя современные средства моделирования позволяют строить такие пересечения гораздо быстрее, рассмотренные нами принципы очень полезны для понимания «механики» геометрических построений, без которого любой, даже самый современный инструмент 3D-моделирования превращается в сложную и непонятную игрушку.
А 3 ввид?
Если у меня пересечения тора и призмы как будет
Это просто потрясающе! ;D 1 курс, мой преподаватель объяснял это целую лекцию замудреными словами, никто ничего не понимал. Тут же за 1 минуту все ясно как небо
СПАСИБО!
Очень хороший урок!
С задачей по начерталке 4 часа сидел и не знал как делать! Благодаря урока всё сделал крайне быстро 🙂
Супер! Огромное спасибо!
Интересный урок. Что-то подобное в школе когда-то было. Давно это было, я уже и забыть успел. Попробую это сделать в Автокаде. Спасибо! 🙂
Otlihno no nado audi vstavit a to ne hera ne po-
neme/
интересно. Все просматриваю. Не коментировал, чтоб не надоедать. А с 3D у меня все хорошо.
Уроки нравятся. Спасибо.
Большое спасибо за всё.
класс мерси
так то материал хорошый,но я это в первом семестре прошел,но повторить не помешало бы)
Большое спасибо, это как раз то что нужно людям, пытающимся понять суть построений, а не тупо выполняющим функции.
P.s вы бы не могли уважаемый автор зделать урок про «дуги». Не как немогу понять по какому принципу они строятся